Herleitung Cosinus-Formel?

Seien a, b und c Vektoren mit Längen |a|, |b| und |c|. Sei

c = a - b

Damit folgt für die Länge von c zu

|c|^2 = |a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2*<a, b>

wobei <a, b> das Skalarprodukt bezeichnet. Mit der bekannten Formel

<a, b> = |a|*|b|*cos(gamma)

(Gamma bezeichnet kleinsten Winkel zwischen a und b)

erhalten wir damit durch Einsetzen den gesuchten Zusammenhang

|c|^2 = |a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2*|a|*|b|*cos(gamma)

Ich empfehle eventuell auch einen Blick in folgende Playlist:

https://www.youtube.com/watch?v=cO0eTzqBM-8&list=PLlXfTHzgMRUKG7lkye7DQAmNB0cfWNgWG&index=13

Video 13 der Playlist zum Thema "Dot Product" und "Pythagorean Theorem" sollte alle Fragen ausräumen.

Ich habe das Video nicht gesehen, aber die fragliche Formel ist der Kosinussatz.

In dem Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C und der Höhe h_a auf Seite a sowie den Höhenfußpunktabschnitten q und p auf a und dem Höhenfußpunkt F gilt:

(1) h_a / b = sin(γ) ⇔ h_a = b * sin(γ)

(2) p = a - q

(3) p / b = cos(γ) ⇔ p = b * cos(γ)

(4) q = a - p

(5) q = a - b * cos(γ)

In Dreieck ABF gilt (Pythagoras):

c² = (b * sin(γ))² + (a - b * cos(γ))²

c² = b² * sin²(γ) + a² - 2 * a * b * cos(γ) + b² * cos²(γ)

c² = b² * (sin²(γ) + cos²(γ)) + a² - 2 * a * b * cos(γ)

c² = a² + b² - 2 * a * b * cos(γ)

c = √(a² + b² - 2 * a * b * cos(γ))

Die Herleitung des kosinussatzes zeigt eig nur dass der Satz des Pythagoras (für Gamma=90°) eine Spezialform des kosinussatzes ist. Vielleicht macht es das etwas klarer.