Was ist der Unterschied zwischen einer stationären Verteilung und einer Grenzverteilung?

Sei Ω der Ergebnisraum, und bezeichne mit P(Ω) den Raum der Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Dies lässt sich mit mehreren Topologien versehen, z. B. der Norm-Topologie mit ||µ|| = sup{∑|µ(An)| : (An) eine messbare Partition von Ω}, oder der schwach* Topologie mit µ_i ⟶ µ gdw. ∫ ƒ dµ_i ⟶ ∫ ƒ dµ für alle uniform stetigen Funktionen ƒ : Ω ⟶ [0,1].

Wir betrachten einen Transitionkern, κ : P(Ω) ⟶ P(Ω), eine konvex lineare, stetige Funktion. Sei µ₀∈P(Ω) die Initialverteilung. Dann heißt µ ∈ P(Ω)

• Grenzverteilung (von µ₀) ⟺ κⁿµ₀ ⟶ µ in P(Ω)
• stationäre Verteilung ⟺ κµ = µ

Offensichtlich gilt

µ Grenzverteilung ⟹ µ stationär

Pragmatisch gesehen verschafft dies ein notwendiges Mittel zur Berechnung der Grenzverteilung (sollte eine existieren).

Der Umkehrschluss aber gilt im Allgemeinen nicht. Beachte hierfür, dass die Definition einer stationären Verteilung die Initialverteilung gar nicht berücksichtigt. Es kann höchstens eine Grenzverteilung pro Initialverteilung geben, aber mehrere stationäre Verteilungen können existieren.