Kugelgleichung zu gegebenen Schnittkreis und Mittelpunkt?
http://www.poenitz-net.de/Mathematik/7.Analytische%20Geometrie/7.8.A.Kugeln.pdf
Hat jemand vielleicht eine Idee, wie man die Aufgabe 6 lösen kann? Ich komme einfach nicht auf einen brauchbaren Ansatz.
Der Schnittkreis befindet sich in der x-y-Ebene, welche durch die Gleichung E: z=0 beschrieben wird. Zudem kennt man den Mittelpunkt (0|0|0) und den Radius (r'=7) des Schnittkreises. Über die Beziehung r'²=r²-d² lässt sich der Radius der Kugel jedoch nicht bestimmen, da r (Kugelradius) und d (Abstand Kugelmittelpunkt zur Ebene) unbekannt sind.
Eine andere Idee war jetzt, den Schnittkreis in eine Kugel zu "überführen" und diese dann von der eigentlichen Kugel abzuziehen. Es sollte sich die oben erwähnte Schnitt- bzw. Trägerebene ergeben. Jedoch scheint dieser Ansatz nicht der richtige zu sein.
Mein Problem: Was sagt mir der Punkt A(8|15|10)? In Geogebra konnte ich sehen, dass er auf der Kugelfläche liegt. Was soll ich jedoch damit anfangen? Ich könnte höchsten den Abstand des Punktes zur Ebene bestimmen - aber was bringt das?
(Die Lösung ist anbei des PDF Dokuments, jedoch ohne Lösungsweg.)
1 Antwort
zu 6)
A (8│15│10)
Horizontalschnittkreis in Ebene 10 Einheiten parallel zur x1 - x2 - Ebene
rA = √(8² + 15²) = 17 (Ebene A)
Horizontalschnittkreis in x1 - x2 - Ebene
r = 7 (gegeben)
Vertikalschnittkreis parallel zur x2 - x3 - Ebene
R = Radius Kugel
Δx3 = Abstand auf der x3-Achse von Ebene A zum Mittelpunkt M der Kugel
(1) 7² + (Δx3 + 10)² = R²
(2) 17² + Δx3² = R²
(1) - (2)
Δx3 = 7
x3 = 10 + 7 = 17
M (0│0│17)
R = √(17² + 7²) = √(169 * 2) = 13 * √(2) = 18,38...
